Como estudiante, Robbins asistió a la Universidad de Harvard, donde Marston Morse (famoso matemático estadounidense conocido por sus investigaciones sobre el cálculo de variaciones) influyó en su interés por las matemáticas. En 1938 obtuvo el doctorado en la Universidad de Harvard, bajo la supervisión de Hassler Whitney. Fue profesor en la Universidad de Nueva York de 1939 a 1941. Después de la Segunda Guerra Mundial, Robbins enseñó en la Universidad de Carolina del Norte en Chapel Hill 1946-1952, donde fue uno de los creadores del departamento de estadística matemática, luego pasó un año en el Institute for Advanced Study. En 1953, se convirtió en profesor de estadística matemática en la Universidad de Columbia.

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Se retiró de la actividad a tiempo completo en Columbia en 1985 y fue profesor en la Universidad de Rutgers hasta su jubilación en 1997. También fue tutor de muchos estudiantes de doctorado. Murió el 12 de febrero de 2001.

En 1955, Robbins introdujo métodos empíricos de Bayes en el Third Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability. Robbins también fue uno de los inventores del algoritmo de primera aproximación estocástica, el método Robbins-Monro, y trabajó en la teoría del impulso y parada óptima. En 1985, en el artículo "Asymptotically efficient adaptive allocation rules", con TL Lai, elaboró políticas demográficas de selección uniformemente convergentes para el problema conocido como Multi-armed bandit. Estas políticas fueron simplificados en 1995, en su artículo "Sequential choice from several populations".

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Fue coautor, con Richard Courant, del libro ¿Qué es la matemática?, una popularización que actualmente aún se vende. El lema de Robbins, utilizado en métodos empíricos de bayesianos, lleva su nombre. También dio nombre a las álgebras Robbins a causa de una conjetura (que ya demostró) que planteó en relación con las álgebra de Boole. El teorema de Robbins, en la teoría de grafos, al igual que la síntesis de Whitney-Robbins, una herramienta que introdujo para demostrar este teorema, también llevan su nombre. El problema bien conocido y no resuelto de minimizar en selección secuencial el rango esperado de la opción seleccionada bajo información completa, a veces referido como el fourth secretary problem, también lleva su nombre, problema de Robbins (de parada óptima). Fue miembro de la Academia Nacional de Ciencias y de la Academia Americana de las Artes y las Ciencias y fue presidente del Instituto de Estadística Matemática. #Investigación científica